🔢 最大公約数・最小公倍数の求め方｜素因数分解とユークリッドの互除法

2026-06-17

分数の約分や通分でつまずくとき、その正体は「最大公約数」と「最小公倍数」であることがほとんどです。この2つの意味と求め方をおさえると、分数の計算がぐっと楽になります。

最大公約数と最小公倍数とは

• 最大公約数（GCD）：2つ以上の数を、どちらも割り切れる数のうち最大のもの。約分に使う。
• 最小公倍数（LCM）：2つ以上の数に共通する倍数のうち最小のもの。通分に使う。

たとえば12と18なら、両方を割り切れる数は1・2・3・6で、その最大は6。共通の倍数は36・72…で、その最小は36。つまり最大公約数は6、最小公倍数は36です。

求め方その1：素因数分解

それぞれを素数の掛け算（素因数分解）に分け、共通部分から求めます。

• 12 ＝ 2 × 2 × 3 ＝ 2² × 3
• 18 ＝ 2 × 3 × 3 ＝ 2 × 3²

最大公約数は「共通する素因数を、少ない方の個数だけ掛ける」：2 × 3 ＝ 6。 最小公倍数は「現れる素因数を、多い方の個数だけ掛ける」：2² × 3² ＝ 36。

求め方その2：ユークリッドの互除法

大きい数を小さい数で割り、余りで割り続ける方法です。割り切れたときの割る数が最大公約数になります。

• 18 ÷ 12 ＝ 1 余り 6
• 12 ÷ 6 ＝ 2 余り 0 → 割り切れた

最後に割った数「6」が最大公約数です。数が大きくて素因数分解が大変なときほど、この方法が速くて確実です。

最小公倍数は「掛けて割る」だけ

最小公倍数は、わざわざ倍数を並べなくても、次の関係で一発で出せます。

最小公倍数 ＝ （2つの数の積）÷ 最大公約数。

12と18なら、(12 × 18) ÷ 6 ＝ 216 ÷ 6 ＝ 36。先に最大公約数さえ求めれば、最小公倍数はこの式ですぐ分かります。

約分・通分への使い方

• 約分：分子と分母を最大公約数で割る。12/18 なら 6で割って 2/3。
• 通分：分母を最小公倍数にそろえる。1/12 と 1/18 なら、分母を36にそろえて 3/36 と 2/36。

つまり「約分は最大公約数」「通分は最小公倍数」と覚えれば、分数の計算で迷いません。

ツールで一発計算

2つの整数を入れるだけで、最大公約数・最小公倍数・最簡の整数比（約分した比）をまとめて出すなら最大公約数・最小公倍数の計算ツールが便利です。約分や通分の答え合わせにも使えます。

よくある質問

Q. 最大公約数の一番かんたんな求め方は？ A. 小さい数なら素因数分解、数が大きいならユークリッドの互除法（大きい数を小さい数で割り、余りで割り続ける）が速くて確実です。割り切れたときの割る数が最大公約数になります。

Q. 最小公倍数はどう求める？ A. 「2つの数の積 ÷ 最大公約数」で求められます。12と18なら (12×18)÷6＝36です。先に最大公約数を出すのが近道です。

Q. 約分と通分、どちらにどちらを使う？ A. 約分は分子分母を「最大公約数」で割り、通分は分母を「最小公倍数」にそろえます。最大公約数・最小公倍数の計算ツールで両方すぐ確認できます。

※本記事は2つの整数を例にした基本的な解説です。3つ以上の数でも同じ考え方を順に適用して求められます。